Persamaan Diferensial Orde Satu

Definisi

Persamaan diferensial adalah persamaan yang mengandung turunan dari satu atau lebih fungsi tak diketahui. Persamaan diferensial orde satu merupakan bentuk paling sederhana, di mana hanya turunan pertama yang muncul. Bentuk umum persamaan diferensial orde satu dapat ditulis sebagai:

F(x, y, y') = 0

Jenisjenis Persamaan Orde Satu

Berikut ini beberapa tipe yang sering ditemui:

1. Persamaan Linear

Bentuk standar:

y' + P(x)y = Q(x)

Jika Q(x)=0, persamaan disebut homogen.

2. Persamaan Separable (Dapat Dipisahkan)

Bentuk umum:

g(y)dy = f(x)dx

Dengan memisahkan variabel, kedua sisi dapat diintegralkan secara terpisah.

3. Persamaan Homogen

Jika fungsi dapat ditulis dalam bentuk rasio fungsi homogen berderajat nol, contoh dy/dx = F(y/x). Substitusi v = y/x mengubahnya menjadi persamaan separable.

4. Persamaan Exact (Eksak)

Bentuk M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 dengan kondisi M/y = N/x. Persamaan dapat diintegrasikan menjadi fungsi potensial (x, y)=C.

5. Persamaan Bernoulli

Bentuk:

y' + P(x)y = Q(x)y

Jika n 0, 1, substitusi v = y^{1n} mengubahnya menjadi linear.

Metode Penyelesaian Umum

1. Metode Integrasi Langsung (Untuk Persamaan Separable)

Langkahlangkah:

1. Susun persamaan sehingga semua variabel y di satu sisi, x di sisi lain.
2. Integrasikan kedua sisi.
3. Tambahkan konstanta integrasi C.

2. Faktor Integrating (Untuk Persamaan Linear)

Diberi y' + P(x)y = Q(x), faktor integrating (x)=e^{P(x)dx} dikalikan ke seluruh persamaan sehingga sisi kiri menjadi turunan total (y)'. Selanjutnya integrasikan.

3. Pemeriksaan KeEksakan (Exact)

Jika Mdx + Ndy = 0 tidak memenuhi M/y = N/x, cari faktor integrating (x, y) sehingga persamaan menjadi eksak.

4. Substitusi Khusus

Untuk persamaan homogen, gunakan v = y/x.
Untuk persamaan Bernoulli, gunakan v = y^{1n}.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Contoh 1 Persamaan Separable

Soal: Selesaikan dy/dx = (xe^{x})/(y), dengan kondisi y(0)=2.

Penyelesaian:

ydy = xe^{x}dx ydy =  xe^{x}dxy = e^{x}(x1) + CMasukkan (x, y) = (0, 2):4 = e^{0}(01) + C  2 = 1 + C  C = 3Jadi solusi: y = e^{x}(x1) + 3atau y = [2e^{x}(x1) + 6]            

Contoh 2 Persamaan Linear

Soal: Selesaikan y' + 3y = 6e^{2x}.

Penyelesaian:

P(x)=3  (x)=e^{3dx}=e^{3x}Kalikan persamaan:e^{3x}y' + 3e^{3x}y = 6e^{3x}e^{2x}=6e^{x}Sisi kiri = (e^{3x}y)'Integrasi:(e^{3x}y)'dx = 6e^{x}dxe^{3x}y = 6e^{x}+Cy = 6e^{2x}+Ce^{3x}            

Contoh 3 Persamaan Bernoulli

Soal: Selesaikan y' + (2/x)y = xy, x>0.

Penyelesaian:

n = 2  v = y^{12}=y^{1}v' = y^{2}y'Kalikan persamaan dengan y^{2}:y^{2}y'  (2/x)y^{1}= xv'  (2/x)v = xIni linear: P(x)=2/x , Q(x)=x(x)=e^{2/x dx}=e^{2lnx}=x^{2}Kalikan:x^{2}v'  (2/x) x^{2}v = x(x^{2}v)' = xIntegrasi:(x^{2}v)'dx = x dxx^{2}v = x + Cv = x + CxKembali ke y:y^{1}= x + Cxy = 1 / (Cx  x)            

Referensi

• Boyce, William E., dan Richard C. DiPrima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. 11th ed.
• Zill, Dennis G. Differential Equations: An Introduction to Modern Methods and Applications.
• Larson, Ron, dan Robert Edwards. Calculus of a Single Variable.