Persamaan Diferensial Orde 1 dengan Metode Analitis

Pengertian Persamaan Diferensial Orde 1

Persamaan diferensial (PDE) orde satu merupakan persamaan yang melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi taktertentukan y = y(x). Bentuk umum PDE orde satu dapat dituliskan sebagai:

F(x, y, y') = 0

di mana y' = dy/dx. Persamaan ini menggambarkan hubungan antara variabel bebas x, variabel taktertentukan y, dan laju perubahan y terhadap x.

Jenisjenis Persamaan Diferensial Orde 1

• Linear: y' + P(x) y = Q(x)
• Separabel: dy/dx = g(x) h(y)
• Homogen: bentuk dy/dx = F(y/x)
• Exact (Eksak): bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dengan M/y = N/x
• Nonlinear lainnya, misalnya y' = y^2 + x.

Setiap jenis mempunyai cara penyelesaian analitis yang khusus. Pada bagian selanjutnya, kita membahas metodemetode utama yang dapat digunakan untuk menyelesaikan PDE orde satu secara eksak.

Metode Analitis Penyelesaian

1. Metode Pemisahan Variabel (Separabel)

Jika persamaan dapat ditulis dalam bentuk dy/dx = g(x)h(y), maka dipisahkan menjadi:

dy/h(y) = g(x) dx

Selanjutnya diintegralkan pada kedua sisi:

 1/h(y) dy =  g(x) dx + C

Hasil integrasi memberikan hubungan implisit antara x dan y. Jika memungkinkan, persamaan dapat diselesaikan secara eksplisit.

2. Metode Faktor Integrasi (Linear)

Persamaan linear standar:

y' + P(x) y = Q(x)

Diberikan faktor integrasi (x) = e^{P(x)dx}. Mengalikan seluruh persamaan dengan (x) menghasilkan:

( y)' =  Q(x)

Integrasi sekali lagi memberikan:

y(x) = (1/(x)) [  (x) Q(x) dx + C ]

3. Persamaan Homogen

Jika bentuknya dy/dx = F(y/x), substitusi v = y/x (sehingga y = vx dan y' = v + x v') mengubah persamaan menjadi:

v + x v' = F(v)

Kemudian dipisahkan menjadi bentuk dv/[F(v)-v] = dx/x dan diintegrasikan.

4. Persamaan Eksak

Persamaan dalam bentuk M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 dikatakan eksak bila M/y = N/x. Solusi diperoleh dengan mencari fungsi (x,y) sehingga:

_x = M   dan   _y = N

Integrasi parsial pertama menghasilkan (x,y) = M dx + g(y), lalu diturunkan terhadap y dan disamakan dengan N untuk menemukan g(y). Akhirnya, solusi implisitnya adalah (x,y) = C.

5. Substitusi Khusus (Bernoulli, Riccati, dsb.)

Persamaan Bernoulli:

y' + P(x) y = Q(x) y^n   (n  0,1)

Menggunakan substitusi u = y^{1-n} menjadikan persamaan menjadi linear terhadap u. Persamaan Riccati memiliki bentuk

y' = a(x) y^2 + b(x) y + c(x)

Jika satu solusi khusus diketahui, substitusi y = y_p + 1/u mengubahnya menjadi linear dalam u.

Contoh Penyelesaian

y dy = x^2 dx

 y dy =  x^2 dx     y^2 =  x^3 + C

y^2 = (2/3) x^3 + C

(x) = e^{ -2/x dx} = e^{-2 ln x} = x^{-2}

(x^{-2} y)' = x^{-2}x^2 = 1

x^{-2} y =  1 dx = x + C

y(x) = x^{2}(x + C) = x^{3} + C x^{2}

M/y = 2x + 2y,   N/x = 2x + 2y

(x,y) =  (2xy + y^2) dx = x^2 y + x y^2 + g(y)

_y = x^2 + 2xy + g'(y) = N  g'(y) = 0  g(y)=C

x^2 y + x y^2 = C

Referensi

• Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. Wiley.
• Zill, D. G. (2020). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning.
• Kreyszig, E. (2011). Advanced Engineering Mathematics. Wiley.
• Sumber daring: Wikipedia Bahasa Indonesia.