Persamaan Diferensial Biasa Orde Pertama

Persamaan diferensial biasa (PDB) orde pertama adalah persamaan yang melibatkan fungsi tak diketahui y(x) serta turunan pertamanya dy/dx. Bentuk umum PDB orde pertama dapat ditulis sebagai:

F(x, y, dy/dx) = 0

Berbagai teknik penyelesaian diperlukan tergantung pada bentuk fungsi F. Berikut ini kami ulas jenisjenis utama serta contoh aplikasinya.

1. Persamaan Linear

Persamaan linear orde pertama memiliki bentuk standar

dy/dx + P(x) y = Q(x)

di mana P(x) dan Q(x) adalah fungsi yang diketahui. Penyelesaian diperoleh dengan memanfaatkan faktor integrasi (x):

(x) = e^{ P(x) dx}

Kemudian

(x) dy/dx + (x)P(x) y = d/dx[ (x) y ] = (x) Q(x)

Sehingga

y(x) = (1/(x)) (x) Q(x) dx + C/(x)

Contoh:

dy/dx + 2y = e^{-x}

Faktor integrasinya = e^{2dx}=e^{2x}. Maka

y = e^{-2x} ( e^{2x} e^{-x} dx + C)      = e^{-2x} ( e^{x} dx + C)      = e^{-2x} (e^{x} + C)      = e^{-x} + C e^{-2x}

2. Persamaan Separable (Dapat Dipisahkan)

Jika persamaan dapat ditulis dalam bentuk

dy/dx = g(x)h(y)

maka dipisahkan menjadi

dy/h(y) = g(x) dx

dan diintegralkan pada kedua sisi. Contoh:

dy/dx = (x^2)/(1+y^2)

Dipecah menjadi

(1+y^2) dy = x^2 dx

Integrasi memberi

y + (y^3)/3 = (x^3)/3 + C

3. Persamaan Homogen

Persamaan bentuk

dy/dx = F(y/x)

dengan substitusi v = y/x (sehingga y = vx) menghasilkan

dy/dx = v + x dv/dx

yang kemudian menghasilkan persamaan separable dalam v dan x. Contoh:

dy/dx = (y/x) + (x/y)

Setelah substitusi v = y/x:

v + x dv/dx = v + 1/v    x dv/dx = 1/v

Sehingga

v dv = (1/x) dx

Integrasi memberi

(v^2)/2 = ln|x| + C  (y/x)^2 = 2 ln|x| + C'

4. Persamaan Exact (Eksak)

Persamaan dalam bentuk

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

disebut eksak bila

M/y = N/x

Maka ada fungsi potensial (x,y) sehingga d = M dx + N dy. Penyelesaiannya adalah (x,y) = C. Contoh:

(2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy) dy = 0

Hitung M/y = 2x + 2y, N/x = 2x + 2y eksak.

Integrasi M terhadap x:

 = (2xy + y^2) dx = x^2 y + x y^2 + h(y)

Turunan terhadap y harus sama dengan N:

/y = x^2 + 2xy + h'(y) = N  h'(y)=0  h = C

Jadi solusi implisitnya

x^2 y + x y^2 = C

5. Persamaan Bernoulli

Berbentuk

dy/dx + P(x) y = Q(x) y^n   (n  0,1)

Gunakan substitusi v = y^{1-n} sehingga persamaan menjadi linear pada v. Contoh:

dy/dx + y = y^2

Di sini n=2, maka v = y^{1-2}=1/y.

dv/dx = -1/y^2 dy/dx

Gantikan dy/dx dari persamaan asli:

-y^2 dv/dx + y = y^2  -y^2 dv/dx = y^2 - y  dv/dx = (y - 1)/y^2 = 1/y - 1/y^2 = v - v^2

Setelah disederhanakan menjadi linear pada v:

dv/dx + v = 1

Faktor integrasi = e^{1dx}=e^{x}. Solusi:

v e^{x} =  e^{x} dx + C = e^{x}+C  v = 1 + Ce^{-x}

Kembali ke y: 1/y = 1 + Ce^{-x} y = 1/(1+Ce^{-x})

6. Contoh Aplikasi

• Pertumbuhan Populasi: Model logistik dy/dx = r y (1 - y/K) adalah persamaan Bernoulli dengan n = 2.
• Pembusukan Radioaktif: Persamaan peluruhan dy/dx = - y adalah linear dengan solusi eksponensial.
• Penyebaran Panas: Dalam kasus aliran satu dimensi konveksidifusi, suhu T(x) dapat memenuhi persamaan linear dT/dx + a T = b.

7. Langkah Umum Menyelesaikan PDB Orde Pertama

1. Identifikasi bentuk persamaan (linear, separable, homogen, eksak, Bernoulli, dsb.).
2. Jika belum cocok, coba transformasi (misalnya substitusi v = y/x atau v = y^{1-n}).
3. Gunakan teknik yang sesuai: faktor integrasi, pemisahan variabel, atau integrasi langsung pada fungsi potensial.
4. Periksa kembali solusi dengan menggantikan ke persamaan asal.
5. Jika diperlukan, ekspresikan solusi secara implisit atau eksplisit, dan tentukan konstanta integrasi menggunakan kondisi awal.

Referensi

Buku teks standar seperti Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (Boyce & DiPrima) serta sumber daring di Khan Academy menyediakan penjelasan mendetail dan contoh latihan.