Persamaan Diferensial Elementer

Definisi

Persamaan diferensial (PD) adalah persamaan yang menghubungkan fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya. Pada konteks elementer, PD biasanya mengacu pada persamaan yang melibatkan turunan orde pertama atau kedua, dengan fungsi-fungsi koefisien yang sederhana (konstan atau fungsi eksponensial, trigonometri, dll.). Persamaan ini banyak muncul dalam fisika, teknik, ekonomi, dan ilmu biologi.

Klasifikasi Persamaan Diferensial Elementer

1. Berdasarkan Orde

• Orde satu: Mengandung turunan pertama saja, misalnya \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\).
• Orde dua: Mengandung turunan kedua, misalnya \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+p(x)\frac{dy}{dx}+q(x)y=r(x)\).

2. Berdasarkan Linearitas

• Linear: Semua turunan muncul dalam pangkat satu dan tidak ada perkalian antara fungsifungsi yang tidak diketahui. Contoh: \(y''+3y'=6x\).
• Nonlinear: Mengandung pangkat lebih tinggi atau perkalian fungsi tak dikenal, misalnya \((y')^{2}+y=0\).

3. Berdasarkan Koefisien

• Koefisien konstan: Semua koefisien tidak bergantung pada variabel bebas (biasanya \(x\)). Contoh: \(y''-5y'+6y=0\).
• Koefisien variabel: Koefisien bergantung pada \(x\). Contoh: \(x^{2}y''+xy'-y=0\).

Metode Penyelesaian Persamaan Diferensial Elementer

2.1. Persamaan Linear Orde Satu

Umumnya berbentuk \(\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\). Metode umum:

1. Mencari faktor integrasi \( \mu(x)=e^{\int P(x)dx}\).
2. Mengalikan seluruh persamaan dengan \(\mu(x)\) sehingga menjadi bentuk \(\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu Q\).
3. Integrasi kedua sisi dan selesaikan untuk \(y\).

Contoh:dy/dx - 2y = e^{3x}P(x) = -2 , Q(x) = e^{3x}(x)=e^{-2dx}=e^{-2x}e^{-2x}dy/dx -2e^{-2x}y = e^{x} d/dx(e^{-2x}y)=e^{x}Integrasi:e^{-2x}y =  e^{x}dx = e^{x}+Cy = e^{3x}+Ce^{2x}            

2.2. Persamaan Linear Orde Dua dengan Koefisien Konstan

Berbentuk \(ay''+by'+cy=0\). Penyelesaiannya memakai persamaan karakteristik:

1. Tulis persamaan karakteristik \(ar^{2}+br+c=0\).
2. Temukan akarakar \(r_{1}, r_{2}\).
3. Jika akar nyata dan berbeda: \(y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}\).
4. Jika akar real sama: \(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}\).
5. Jika akar kompleks \(i\): \(y=e^{x}\big(C_{1}\cosx+C_{2}\sinx\big)\).

2.3. Persamaan Bernoulli

Bentuk umum: \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}\) dengan \(n\neq0,1\). Langkah:

1. Divisi seluruh persamaan dengan \(y^{n}\) sehingga memperoleh bentuk linear pada variabel baru \(v=y^{1-n}\).
2. Gunakan metode linear orde satu untuk menyelesaikan persamaan yang didapat.

2.4. Metode Pemisahan Variabel

Jika persamaan dapat ditulis dalam bentuk \(\displaystyle g(y)dy = f(x)dx\), maka integrasikan kedua sisi secara terpisah.

Contoh:dy/dx = xydy / y = x dx y^{-2} dy =  x dx- y^{-1} =  x + Cy = -1 / ( x + C)            

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal 1 (Orde satu, koefisien konstan)

Selidiki solusi umum persamaan \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+3y=6e^{2x}\).

Penyelesaian:

1. Faktor integrasi: \(\mu=e^{\int3dx}=e^{3x}\).
2. Kalikan: \(e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y=6e^{5x}\).
3. Menjadi \(\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)=6e^{5x}\).
4. Integrasi: \(e^{3x}y=6\int e^{5x}dx= \frac{6}{5}e^{5x}+C\).
5. Solusi: \(y=\frac{6}{5}e^{2x}+Ce^{-3x}\).

Soal 2 (Orde dua, koefisien konstan)

Cari solusi dari persamaan \(\displaystyle y''-4y'+4y=0\).

Penyelesaian:

• Karakteristik: \(r^{2}-4r+4=0\Rightarrow (r-2)^{2}=0\).
• Akar ganda \(r=2\).
• Solusi: \(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}\).

Soal 3 (Bernoulli)

Selesaikan \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+y = y^{2}\).

Penyelesaian:

• Ubah menjadi \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+y = y^{2}\Rightarrow \frac{dy}{dx}=y^{2}-y\).
• Pemisahan variabel: \(\displaystyle \frac{dy}{y^{2}-y}=dx\).
• Partial fraction: \(\displaystyle \frac{1}{y(y-1)} = \frac{-1}{y}+ \frac{1}{y-1}\).
• Integrasi: \(-\ln|y|+\ln|y-1| = x + C\).
• \(\displaystyle \ln\left|\frac{y-1}{y}\right| = x+C\) \(\displaystyle \frac{y-1}{y}=Ke^{x}\).
• Solusi implisit: \(y = \frac{1}{1-Ke^{x}}\) dengan \(K\) konstanta.

Aplikasi Persamaan Diferensial Elementer

Walaupun sederhana, persamaan diferensial elementer menjadi dasar untuk memodelkan banyak fenomena alam.

Setiap contoh di atas dapat direduksi menjadi persamaan orde pertama atau kedua dengan koefisien konstan atau variabel, sehingga teknik yang dijelaskan sebelumnya dapat langsung diterapkan.