Transformasi Laplace

Pengantar mengenai definisi, sifat, metode, dan aplikasi transformasi Laplace dalam analisis sistem.

1. Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace adalah sebuah integral transform yang mengubah fungsi waktu f(t) (dengan t 0) menjadi fungsi kompleks F(s) dengan variabel s = + j. Bentuk umum transformasinya diberikan oleh

F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt

Hasilnya berupa representasi dalam domain frekuensi kompleks yang memudahkan analisis sistem linear, khususnya yang melibatkan persamaan diferensial konstan-koefisien.

2. Sifatsifat Penting

Linearitas: \mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\}=aF(s)+bG(s)
Derivatif waktu: \mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^{-})
Derivatif orden: \mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0^{-})-\dots-f^{(n-1)}(0^{-})
Integral waktu: \mathcal{L}\{\int_{0}^{t} f(\tau)d\tau\}= \frac{F(s)}{s}
Perpindahan waktu (delay): \mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}F(s), dengan u(t) fungsi langkah Heaviside.
Perpindahan frekuensi: \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)
Teorema Konvolusi: \mathcal{L}\{f(t)*g(t)\}=F(s)G(s)

3. Tabel Transformasi Laplace yang Sering Dipakai

f(t)	F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}
1	1/s
t^{n} (n\ge0)	n!/s^{n+1}
e^{at}	1/(s-a)
\sin(bt)	b/(s^{2}+b^{2})
\cos(bt)	s/(s^{2}+b^{2})
e^{at}\sin(bt)	b/[(s-a)^{2}+b^{2}]
e^{at}\cos(bt)	(s-a)/[(s-a)^{2}+b^{2}]
u(t-a)	e^{-as}/s
te^{at}	1/(s-a)^{2}

4. Contoh Penyelesaian Persamaan Diferensial

Soal: Selesaikan persamaan diferensial linear dengan kondisi awal

y''+3y'+2y = 4e^{-t}, \;\; y(0)=1,\; y'(0)=0

Langkah 1 Transformasi Laplace

Gunakan sifat derivatif:

\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-s

\mathcal{L}\{3y'\}=3[sY(s)-y(0)]=3[sY(s)-1]

\mathcal{L}\{2y\}=2Y(s)

Transformasi ruas kanan: \mathcal{L}\{4e^{-t}\}=4/(s+1).

Langkah 2 Susun Persamaan di Domain s

(s^{2}Y - s) + 3(sY -1) + 2Y = 4/(s+1)

Sederhanakan:

(s^{2}+3s+2)Y(s) - (s+3) = 4/(s+1)

Sehingga

Y(s)=\frac{4}{(s+1)(s^{2}+3s+2)}+\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}

Langkah 3 Pecah Pecahan Parsial

Faktor penyebut pertama: s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2). Maka

Y(s)=\frac{4}{(s+1)^{2}(s+2)}+\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}

Pecah masingmasing:

\frac{4}{(s+1)^{2}(s+2)} = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{(s+1)^{2}} + \frac{C}{s+2}\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} = \frac{D}{s+1} + \frac{E}{s+2}

Setelah menghitung (misalnya dengan metode substitusi), didapat:

A=2, \; B=2, \; C=-2, \; D=1, \; E=2

Langkah 4 Invers Laplace

Gunakan tabel:

\frac{1}{s+1} \rightarrow e^{-t}
\frac{1}{(s+1)^{2}} \rightarrow t e^{-t}
\frac{1}{s+2} \rightarrow e^{-2t}

Maka

y(t)= (2e^{-t}+2t e^{-t}-2e^{-2t}) + (e^{-t}+2e^{-2t})

Gabungkan suku yang sejenis:

y(t)=3e^{-t}+2t e^{-t}

Jawaban akhir memenuhi kondisi awal yang diberikan.

5. Aplikasi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace banyak dipakai dalam berbagai bidang teknik dan ilmu terapan, antara lain:

Analisis rangkaian listrik Menyelesaikan rangkaian RLC pada domain s, memperoleh fungsi transfer.
Kontrol otomatis Membentuk model transfer fungsi G(s) untuk perancangan regulator PID.
Vibrasi mekanik Menyelesaikan persamaan gerak sistem massapegasperedam.
Sinyal & sistem Menghitung respons impuls dan respons langkah suatu sistem linear waktuinvariannya.
Thermal dan difusi Menyelesaikan persamaan panas satu dimensi dengan kondisi batas konstan.

6. Referensi

Oppenheim, A.V., Willsky, A.S., & Nawab, S.H. (1996). Signals and Systems. Prentice Hall.
Nilsson, J.W., & Riedel, S.A. (2010). Electric Circuits. Pearson.
Franklin, G.F., Powell, J.D., & Emami-Naeini, A. (2015). Feedback Control of Dynamic Systems. Pearson.
Riley, K.F., Hobson, M.P., & Bence, S.J. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press.

File Referensi Untuk Transformasi Laplace

Screenshoot