Definisi Rantai Markov
Rantai Markov adalah sebuah proses stokastik diskret yang memenuhi prinsip Markov, yaitu probabilitas berpindah ke keadaan berikutnya hanya bergantung pada keadaan saat ini, bukan pada urutan keadaan sebelumnya. Secara formal, bila X menyatakan keadaan pada langkah ken, maka:
P(X = j | X = i, X = i, , X = i) = P(X = j | X = i)
Dengan kata lain, rantai Markov memiliki "memori satu langkah".
Sifat-sifat Utama
- Irreducibility (Keterhubungan): Setiap keadaan dapat dicapai dari keadaan manapun dalam beberapa langkah.
- Periodicity (Periodisitas): Sebuah keadaan i memiliki periode d bila semua kembali ke i terjadi dalam kelipatan d.
- Recurrence dan Transience: Keadaan yang pasti akan dikunjungi kembali disebut recurrent; yang kemungkinan tidak kembali disebut transient.
- Ergodicity: Rantai yang irreducible, aperiodic, dan memiliki distribusi stasioner unik.
Matriks Transisi
Jika terdapat k keadaan, maka probabilitas berpindah dapat direpresentasikan dengan matriks P berukuran k k dimana elemen p adalah probabilitas pindah dari keadaan i ke j dalam satu langkah:
P = [p] = | p p pk || p p pk || . . .|| pk pk pk |
Setiap baris harus menjumlah ke 1 karena merupakan distribusi probabilitas.
Contoh Matriks Transisi
| Keadaan | A | B | C |
|---|---|---|---|
| A | 0.7 | 0.2 | 0.1 |
| B | 0.3 | 0.4 | 0.3 |
| C | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
Dengan matriks di atas, probabilitas berada pada keadaan B setelah dua langkah dapat dihitung dengan P.
Aplikasi Rantai Markov
Rantai Markov banyak digunakan di berbagai bidang, antara lain:
- Ilmu Komputer: Algoritma PageRank Google, model bahasa, dan simulasi Monte Carlo.
- Ekonomi: Model kredit, prediksi pasar, dan analisis risiko.
- Biologi: Model evolusi genetik, pergerakan partikel, dan jaringan syaraf buatan.
- Manufaktur: Analisis kegagalan mesin (reliability) dan perencanaan produksi.
- Fisika: Model pergerakan partikel dalam gas (random walk) dan proses difusi.
Contoh Praktis: Prediksi Cuaca
Misalkan ada tiga keadaan cuaca: cerah, berawan, dan hujan. Berdasarkan data historis, diperoleh matriks transisi berikut:
P = | 0.6 0.3 0.1 || 0.2 0.5 0.3 || 0.3 0.4 0.3 |
Jika hari ini cuaca cerah, probabilitas besok hujan adalah 0.1. Untuk mengetahui probabilitas cuaca tiga hari ke depan, kalikan P dengan vektor keadaan awal (1,0,0).
Referensi
- J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press, 1997.
- R. Durrett, Probability: Theory and Examples, 4th ed., Cambridge University Press, 2010.
- S. Ross, Introduction to Probability Models, 11th ed., Academic Press, 2014.
- Wikipedia contributors, Markov chain, *Wikipedia, The Free Encyclopedia*, 2024.
