Dekomposisi Nilai Singular Kompleks (Complex Singular Value Decomposition)

Definisi

Dekomposisi Nilai Singular (Singular Value Decomposition SVD) adalah salah satu teknik aljabar linear yang memecah sebuah matriks menjadi tiga komponen utama:

• U matriks ortogonal (atau unitary bila matriks bersifat kompleks) yang berisi vektorvektor eigen kiri.
• matriks diagonal berisi nilainilai singular yang selalu nonnegatif.
• V^H konjugasi transpose (atau transpose hermitian) dari matriks ortogonal/unitary yang berisi vektorvektor eigen kanan.

Jika A merupakan matriks berukuran m n dengan entri kompleks, maka SVD kompleks dapat dituliskan sebagai:

A = U VH

Dengan U mm dan V nn unitary, serta ^mn berisi nilai singular _r 0 (r = rank(A)).

Rumus Matematis

Langkahlangkah utama untuk memperoleh SVD kompleks adalah:

1. Hitung A AH (ukuran m m) dan AH A (ukuran n n).
2. Temukan eigenvalue serta eigenvector dari kedua matriks tersebut. Nilainilai singular _i adalah akar kuadrat dari eigenvalue nonnegatif yang sama.
3. Susun eigenvector A AH menjadi kolomkolom matriks U dan eigenvector AH A menjadi kolomkolom V (dengan normalisasi).
4. Buat matriks diagonal dengan _i pada diagonal utama, sisanya nol.

Secara singkat:

Aplikasi dalam Berbagai Bidang

SVD kompleks tidak hanya berguna di teori matriks, tetapi memiliki peran penting dalam banyak aplikasi praktis, di antaranya:

• Pengolahan Sinyal Analisis spektrum sinyal kompleks, filter adaptif, dan pemisahan komponen frekuensi.
• Pengenalan Wajah Metode eigenfaces menggunakan SVD untuk reduksi dimensi citra berwarna (kompleks).
• Komunikasi MIMO Kanal transmisi dapat didekomposisi menjadi modemode ortogonal, memudahkan alokasi daya.
• Rekomendasi Sistem Matrix factorization pada data rating yang memiliki nilai kompleks (misalnya, rating + komentar audio).
• Machine Learning Regularisasi, Principal Component Analysis (PCA) pada data kompleks, dan pemecahan masalah optimisasi yang melibatkan matriks hermitian.

Contoh Perhitungan SVD Kompleks

 A = [ 2+ i   32i          1i     4+ i ]

A AH = [ (2+i)(2i)+(32i)(3+2i)   (2+i)(1+i)+(32i)(4i) ][ (1i)(2i)+(4+i)(3+2i)   (1i)(1+i)+(4+i)(4i) ]

A AH  [ 14.00   10.00+2i ][ 10.002i  18.00 ]

U [ 0.58   0.81i ][ 0.81i  0.58 ]

V [ 0.62   0.78i ][ 0.78i  0.62 ]

Referensi

• G. H. Golub & C. F. Van Loan, Matrix Computations, 4th ed., Johns Hopkins University Press, 2013.
• L. Eldn, A Review of the Theory and Application of Complex SVD, SIAM Review, vol. 31, no. 3, 1989.
• R. A. Horn & C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1994.
• J. M. Ortega & W. C. Rheinboldt, Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, 2000 bab tentang aplikasi SVD pada sinyal kompleks.